Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 - x & 1 & 1 \\ 0 & 2 - x & 1 \\ - 4 & 4 & 3 - x \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} |$ .

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} | + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 4 & 3 - x \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(1 - x) ((2 - x) (3 - x) - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(2 - x) (3 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - x) (2 (3 - x) - x (3 - x) - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - x) (2 \cdot 3 + 2 (- x) - x (3 - x) - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - x) (2 \cdot 3 + 2 (- x) - x \cdot 3 - x (- x) - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(1 - x) (6 + 2 (- x) - x \cdot 3 - x (- x) - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(1 - x) (6 - 2 x - x \cdot 3 - x (- x) - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(1 - x) (6 - 2 x - 3 x - x (- x) - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(1 - x) (6 - 2 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$(1 - x) (6 - 2 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(1 - x) (6 - 2 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(1 - x) (6 - 2 x - 3 x + 1 x^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(1 - x) (6 - 2 x - 3 x + x^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 2 x$ .

$(1 - x) (6 - 5 x + x^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$(1 - x) (6 - 5 x + x^{2} - 4) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 (1 \cdot 1 - (2 - x) \cdot 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 (1 - (2 - x) \cdot 1)$

Schritt 4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 (1 + (- 1 \cdot 2 - - x) \cdot 1)$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 (1 + (- 2 - - x) \cdot 1)$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 (1 + (- 2 + 1 x) \cdot 1)$

Schritt 4.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 (1 + (- 2 + x) \cdot 1)$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $- 2 + x$ mit $1$ .

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 (1 - 2 + x)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) + 0 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Addiere $(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2)$ und $0$ .

$(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2) - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $(1 - x) (- 5 x + x^{2} + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$1 (- 5 x) + 1 x^{2} + 1 \cdot 2 - x (- 5 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 5 x$ mit $1$ .

$- 5 x + 1 x^{2} + 1 \cdot 2 - x (- 5 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- 5 x + x^{2} + 1 \cdot 2 - x (- 5 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 5 x + x^{2} + 2 - x (- 5 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 5 x + x^{2} + 2 - 1 \cdot - 5 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.5.1

Bewege $x$ .

$- 5 x + x^{2} + 2 - 1 \cdot - 5 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 5 x + x^{2} + 2 - 1 \cdot - 5 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- 5 x + x^{2} + 2 + 5 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 5 x + x^{2} + 2 + 5 x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.2.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 5 x + x^{2} + 2 + 5 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 5 x + x^{2} + 2 + 5 x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 5 x + x^{2} + 2 + 5 x^{2} - x^{3} - x \cdot 2 - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 5 x + x^{2} + 2 + 5 x^{2} - x^{3} - 2 x - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 + 5 x^{2} - x^{3} - 7 x - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.4

Addiere $x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 2 - x^{3} - 7 x - 4 (- 1 + x)$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 2 - x^{3} - 7 x - 4 \cdot - 1 - 4 x$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$6 x^{2} + 2 - x^{3} - 7 x + 4 - 4 x$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $4$ .

$6 x^{2} - x^{3} - 7 x + 6 - 4 x$

Schritt 5.4

Subtrahiere $4 x$ von $- 7 x$ .

$6 x^{2} - x^{3} - 11 x + 6$